Jean-Baptiste Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por el estudio de la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes, denominadas series de Fourier, con este método logró resolver la ecuación del calor
$$ u_{t} = \kappa \Delta_xu $$
Más información en Wikipedia.
En esta página introduciremos, brevemente, las series de Fourier. Veremos sus representaciones gráficas y sus aplicaciones físicas.
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Dada una función $f\in L^1$ se define la transformada de Fourier de $f$ como
$$ \hat{f}(\xi) =\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-2\pi i x\xi}\ \text{d}x,\quad \forall \xi\in \mathbb{R}. $$
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Además,
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Sea $\hat{f}$, la transformada de Fourier de $f$, se define la inversa de la transformada de Fourier como
$$ f(x) =\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i x\xi}\ \text{d}\xi,\quad \forall x\in \mathbb{R}. $$
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Existen otras expresiones para las transformadas, pero resultan todas equivalentes todo depende de los intereses prácticos que tengamos. Además, es posible dar una definición en dimensiones superiores. En esta ocasión, presento esta versión para seguir la formulación presentada en este primer vídeo que recomiendo para tener una idea de qué es la transformada de Fourier:
https://youtu.be/spUNpyF58BY?si=mj-XKKzGgj5ZthqI
Podemos ver cómo, partiendo de una señal medida en tiempo (nuestra función), podemos llegar a otra representación donde se mide la frecuencia (la transformada).
https://youtu.be/tp_MdKz3fC8?si=SkJmnN4FPKTzruKI
Continuemos ahora con las series de Fourier, estas nos permitirán obtener soluciones para, por ejemplo, la ecuación del calor. Aunque, bien es cierto que pueden ser usadas en otros contextos como la ecuación de ondas o Laplace.