En este apartado veremos algunas EDOs particulares que tendrán un método de resolución concreto además de un Teorema de Existencia-Unicidad propio.
Son las EDOs de la forma
$$ x'=p(t)q(x) $$
<aside> ✍🏻 Teorema de existencia-unicidad VS. Sean $p(t)\in\mathcal{C}((a, b))$ y $q(x)\in\mathcal{C}((c, d))$ con $q(x)\not=0$ se dará que el PVI
$$ x'=p(t)q(x)\\ x(t_0)=x_0 $$
tiene solución única en $R = (a, b)\times (c, d)$ con $t$ en un cierto intervalo $I$.
</aside>
Son EDOs de la forma
$$ x'= f\left(\frac{x}{t}\right)\ \textcolor{gray}{(t\not=0)} $$
Para la resolución de estas ecuaciones haremos uso del cambio de variable: $u=\frac{x}{t}$
$$ x=tu\Longrightarrow x' = u+tu' $$
Por lo que se da
$$ f(u)=u+tu' $$
Ahora tenemos una EDO en $u$ con variable independiente $t$, despejando la derivada:
$$ u' = \frac{1}{t}\cdot (f(u)-u) = p(t)q(u) $$
Tenemos ahora una EDO de variables separadas.
Para resolver EDOs homogéneas las transformamos en variables separadas.
<aside> ✍🏻 Teorema de existencia-unicidad (hom). Sean $f\in\mathcal{C}(R)$ con $t\not=0$ se dará que el PVI
$$ x'=f\left(\frac{x}{t}\right)\\ x(t_0)=x_0 $$
tiene solución única en un rectángulo, $R$, con $t$ en un cierto intervalo $I$ que no contiene al cero.
</aside>