<aside> ☝🏻 Recibe el nombre de Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) toda identidad que involucre a la variable independiente $x$ perteneciente a un intervalo $(a, b)$ con $-\infty \leq a < b\leq \infty$ y a la función incógnita $y$ junto con sus sucesivas derivadas $y', y'', \dots, y^{(n}$ aunque no necesariamente deben estar todas presentes.

$$ \tag{*}F(x; y, y', y'', \dots, y^{(n})=0,\ x\in(a, b) $$

</aside>

Veamos a continuación algunos ejemplos de EDO donde $y = y(x)$

$y'=0$ es claro que la solución para esta EDO es $y=C\in\mathbb{R}$

$y'=f(x)$ donde $f\colon I\longrightarrow \mathbb{R}$ cuya solución es $y(x) = \int f(x) + C;\ C\in \mathbb{R}$

$y'=y$ tiene como solución $y = ke^{x}$

$y'=2xy$ tiene por solución $y = Ce^{x^2}$

$y'' = y$ tiene una solución compuesta por la suma de exponenciales $y=C_1 e^x + C_2 e^{-x}$

$y''=-y$ la solución será de funciones trigonométricas $y = C_1cos(x) + C_2sin(x)$

$y''+1=0$ no tiene solución

$(y')^2 + y^2 = 0$ tiene como única solución a $y=0$

Nótese que $xy'' - y = 0$ no es, en general, una EDO, pues para $x=0$ no comparece ninguna derivada de $y$ en la ecuación.

En este curso trabajaremos con la ecuación despejando la derivada de mayor orden obteniendo así la forma explícita o normal de la EDO:

$$ y^{(n} = G(x; y', y'',\dots, y^{(n-1}) $$

<aside> ☝🏻 Se denomina orden de una EDO al mayor orden de derivación que comparece en ella.

</aside>

<aside> ☝🏻 Se denomina solución (particular) de la EDO (*) al par $(g,\ J)$ donde $g\colon J\longrightarrow \mathbb{R};\ J = (c,d)$ tal que

$$ F(x; g(x), g'(x), g''(x), \dots, g^{(n}(x))=0,\ x\in(c,d)\subseteq(a, b) $$

</aside>

Para comprobar si una función $g$ es solución de una EDO nos basta con sustituir.

<aside> ☝🏻 Al conjunto de todas las soluciones de una EDO se le denomina solución general. Normalmente, esta es una familia $n$-paramétrica si la EDO es de orden $n$.

</aside>

En algunas ocasiones podrá existir alguna solución que no pueda ser recogida por la solución general, estas serán las soluciones singulares.

Las EDOs surgen para facilitar el modelaje de fenómenos físicos y su resolución es interesante para intentar predecir cómo se comportará este en el futuro o cómo se comportó en un pasado, por ello hay casos en los que conviene partir de un dato experimental, a esto lo llamaremos observación o valor inicial, para que las predicciones sean más certeras. De esta forma dada una EDO $F(t; x, x')=0,\ \forall t\in(a,b)$ mediremos en un instante que nos interese $(t_0)$ el valor de la variable objeto de estudio $x(t_0) = x_0$ este será el valor inicial.

<aside> ☝🏻 Al sistema conformado por una EDO $F(t; x, x')=0,\ \forall t\in(a,b)$ y un dato inicial $x(t_0) = x_0$ lo denominaremos problema de valores iniciales (PVI) o problema de Cauchy (PC). Se tendrá una solución para estos problemas cuando la solución de la EDO verifique además el dato inicial.

</aside>

Considérese $x' = f(t, x)$ donde $f\colon \Omega\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ donde $\Omega$ es un dominio (abierto y conexo) no necesariamente acotado. Entonces el PVI se dará como

$$ x' = f(t, x)\\ x(t_0) = x_0 $$

Esto en el caso de primer orden, si no $f$ quedaría en función de las derivadas pertinentes tras haber despejado la de mayor orden.

<aside> ✍🏻 Teorema local de existencia y unicidad. Sea $\Omega\subseteq \mathbb{R}^2$ un dominio y $f(t, x)\in \mathcal{C}(\Omega)$ tal que $f$ admite derivada parcial continua respecto de $x$ en $\Omega$ $(f_x\in\mathcal{C}(\Omega))$. Entonces dado $(t_0, x_0)\in \Omega$ existe un intervalo $I$ tal que $t_0\in I$ y una única función definida en dicho intervalo satisfaciendo

$$ x' = f(t, x)\\ x(t_0) = x_0 $$

</aside>

Implícitamente en un PVI (de primer orden) se obliga a que la solución tenga una pendiente en el valor inicial, además esta se propaga como $f(t,\ x(t))$. De esta forma al darse la unicidad, por el resultado anterior, la solución es de clase $\mathcal{C}^1$.

Bien es cierto que aunque nuestra EDO sea una función $f$ buena (clase infinito) la solución puede no ser tan bondadosa (buscar la solución al PVI $y'=y^2$, con $y(x_0)\not=0$).

Hay otros casos, en los que puede existir solución, pero no ser única, véase el siguiente PVI:

$$ x'=2\sqrt{x}\\ x(0)=0 $$