Esta primera entrada no es propiamente un criterio, pero es una propiedad que probablemente sea de utilidad. Dada una serie $\sum_{k=1}^\infty a_k = \underbrace{a_1 + \cdots + a_n}{n-\text{suma parcial}} + \underbrace{a{n+1} + \cdots}_{\text{Resto, }R_n}$

La serie converge si, y solo si, el resto $R_n$ tiende a cero.

1. Criterio básico de convergencia. Una serie de términos positivos $\sum_{n\geq 1} a_n$ es convergente si, y solo si, está mayorada. Es decir, si existe un número $M>0$ tal que para cualquier $n\in \mathbb{N}$ se verifica que $\sum_{k=1}^n a_k\leq M$, en cuyo caso su suma viene dada por

   $$ \sum_{n\geq 1} a_n=\sup\left\{\sum_{k=1}^n a_k\colon n\in \mathbb{N}\right\} $$

   Una serie de términos positivos que no está mayorada es (positivamente) divergente.

2. Criterio básico de comparación. Sean $\sum_{n\geq 1} a_n$ y $\sum_{n\geq 1} b_n$ dos series de términos positivos. Supongamos que hay un número $k$ natural, tal que $a_n\leq b_n$ para cualquier $n>k$. Entonces se verifica que si la serie $\sum_{n\geq 1} b_n$ es convergente, la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ también lo es.

3. Criterio de comparación por paso al límite. Sean $\sum_{n\geq 1} a_n$ y $\sum_{n\geq 1} b_n$ dos series de términos positivos y, supongamos que

   $$ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=L\in \mathbb{R}_{\geq 0}\cup\{+\infty\} $$

   1. Si $L=+\infty$ y $\sum_{n\geq 1} b_n$ es divergente, entonces $\sum_{n\geq 1} a_n$ es divergente.
   2. Si $L=0$ y $\sum_{n\geq 1} b_n$ es convergente, entonces $\sum_{n\geq 1} a_n$ es convergente.
   3. Si $L\in\mathbb{R}_{>0}$ las dos series tienen el mismo carácter.

4. Criterio del cociente (de Baragatti). Dada la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ (no necesariamente con $a_n>0$) consideremos

   $$ C_n = \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| $$

   1. Si $C_n\to L$, con $L<1$ entonces la serie $\sum_{n\geq 1} |a_n|$ converge.
   2. Si $C_n\to L$, con $L>1$ entonces $\lim_{n\to \infty}a_n\not=0$. Por no cumplirse la propiedad necesaria de convergencia la serie (con valor absoluto y la que no lo tiene) diverge.

   Si una serie converge absolutamente entonces la serie converge. Es decir si $\sum_{n\geq 1} |a_n|$ converge, entonces $\sum_{n\geq 1} a_n$ converge.

5. Criterio de Raabe (1). Supongamos que $a_n>0$ para cualquier $n$ natural, y pongamos

   $$ R_n = n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) $$

   1. Si $\{R_n\}\to L$, donde $L>1$ o $L=+\infty$ entonces la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ converge.
   2. Si $\{R_n\}\to L$, donde $L<1$ o $L=-\infty$ o bien si existe algún $k\in \mathbb{N}$ tal que $R_n\leq 1$ para cualquier $n\geq k$, entonces la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ diverge.

6. Criterio de Raabe (2). Sea $a_n>0$ para cualquier $n$ natural y supongamos que $\lim_{n\to \infty} a_{n+1}/a_n = 1$. Dado

   $$ S_n = \left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)^n $$

   1. Si $S_n\to e^L$ con $L>1$ o si $S_n\to +\infty$, la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ converge.
   2. Si $S_n\to e^L$ con $L<1$ o si $S_n\to 0$, la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ diverge.

7. Criterio de la raíz. Dada la serie de términos positivos $\sum_{n\geq 1} a_n$ tal que

   $$ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}=L $$

   Entonces

   1. Si $L<1$ se da que $\sum_{n\geq 1} a_n$ converge.
   2. Si $L>1$ se da que $\sum_{n\geq 1} a_n$ diverge.

8. Criterio de Prinsheim. Sea $\sum_{n\geq 1} a_n$ una serie de términos positivos, $\alpha$ un número real y supongamos que $\{n^\alpha a_n\}\to L\in \mathbb{R}_{\geq 0}\cup\{+\infty\}$. Entonces

   1. Si $L=+\infty$ y $\alpha\leq 1$ se tiene que $\sum_{n\geq 1} a_n$ es divergente.
   2. Si $L=0$ y $\alpha > 1$ se tiene que $\sum_{n\geq 1} a_n$ es convergente.
   3. Si $L\in \mathbb{R}{>0}$ se tiene que $\sum{n\geq 1} a_n$ converge para $\alpha>1$ y diverge para $\alpha\geq 1$.

9. Primer criterio logarítmico. Supongamos que $a_n>0$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$ y, pongamos

   $$ L_n=\frac{-\log(a_n)}{\log(n)} $$

   1. Si $\{L_n\}\to L$ con $L>1$ o $L=+\infty$, la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ converge.
   2. Si $\{L_n\}\to L$ con $L<1$ o $L=-\infty$, o si bien existe algún $k\in \mathbb{N}$ tal que $L_n\leq 1$ para todo $n\geq k$, entonces la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ diverge.

10. Criterio de Leibniz (series alternadas). Dada una serie alternada $\sum_{n\geq 1} a_n(-1)^n$ con $a_n>0$ entonces, la serie convergerá si $a_n$ es monótona decreciente y $\lim_{n\to \infty}a_n=0$. Además, si $\sum_{n\geq 1} a_n(-1)^n = L$ y $S_k = \sum_{n=1}^k a_n(-1)^n$ la suma parcial $S_k$ aproxima la suma de la serie con error

    $$ |S_k-L|\leq |S_k-S_{k+1}|=a_{k+1} $$